Cho b² = ac. Chứng minh \[\frac{a}{c}\,\, = \,\,\frac{{{a^2} + \,{b^2}}}{{{c^2} + {b^2}}}\] (giả sử các biểu thức đều có nghĩa).

Ta có: b² = ac suy ra: \(\frac{a}{b}\,\, = \,\,\frac{b}{c}\,\,\)

⇒ \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^2}\,\, = \,\,{\left( {\frac{b}{c}} \right)^2}\, = \,\,\,\frac{a}{b}\,\,.\,\,\frac{b}{c}\,\, = \,\,\,\frac{a}{c}\,\, = \,\,\,\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\frac{{{b^2}}}{{{c^2}}}\,\,\)

⇒\[\frac{a}{c}\,\, = \,\,\,\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\frac{{{b^2}}}{{{c^2}}}\,\, = \,\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}\,\](tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

Vậy: \[\frac{a}{c}\,\, = \,\,\frac{{{a^2} + \,{b^2}}}{{{c^2} + {b^2}}}\].