Cho ∆ADC vuông tại a có đường cao AH, AH = 3 cm. Trên nửa mặt phẳng

Đề bài: Cho ∆ADC vuông tại a có đường cao AH, $\widehat{D}=65°$ , AH = 3 cm. Trên nửa mặt phẳng bờ DC chứa điểm A vẽ tia Cx song song với AD, trên Cx lấy điểm B sao cho CB = DA. Tính khoảng cách từ B đến AD, độ dài đoạn BD và diện tích tam giác ABD.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Kẻ BK ⊥ AD

Xét ∆ADC $(\widehat{A}=90°):\widehat{ADC}=65°\Rightarrow \widehat{ACD}=25°$

Khi đó: $CA=\frac{AH}{\sin \widehat{C}}=\frac{3}{\sin 25°}$

Dễ thấy BCAK là hình chữ nhật $\Rightarrow BK=AC=\frac{3}{\sin 25°}\left(cm\right)$ và BC = AK

⟹ DA = AK (= BC) ⇒ DK = 2DA

Ta có: $DA=\frac{AH}{\sin \widehat{CDA}}=\frac{3}{\sin 25°}\left(cm\right)$

$DK=2DA=\frac{6}{\sin 25°}\left(cm\right)$

Áp dụng định lí Pytago vào ∆BKD vuông tại K có $B{K}^2+K{D}^2=B{D}^2$

$$\begin{gathered} \iff {\left(\frac{3}{\sin 25°}\right)}^2+{\left(\frac{6}{\sin 25°}\right)}^2=B{D}^2 \\ \iff B{D}^2=\frac{45}{{\sin }^{2}25°} \\ \iff BD=\frac{3\sqrt{5}}{\sin 25°}\left(cm\right) \end{gathered}$$

Ta có

$$\begin{gathered} S_{ABD}=S_{BKD}-S_{BAK} \\ =\frac{BK.KD}{2}-\frac{AK.BK}{2} \\ =\frac{BK}{2}(KD-AK) \\ =\frac{BK.AD}{2} \\ =\frac{\frac{3}{\sin 25°}.\frac{3}{\sin 25°}}{2} \\ =\frac{18}{\sin 25°}\left(c{m}^2\right) \end{gathered}$$