Cho ∆ABC vuông tại A, có phân giác AD.

Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{AC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{AD}}\).

Lời giải:

\(\) \(\)

Kẻ DE ⊥ AB tại E, DF ⊥ AC tại F.

Ta có: Tứ giác AFDE là hình chữ nhật do \(\widehat A = \widehat E = \widehat F = 90^\circ \), AD là phân giác trong của \(\widehat {EAF}\) nên AFDE là hình vuông. Suy ra: \(DE = DF = \frac{{AD\sqrt 2 }}{2}\)

∆ABC có AB // DF (cùng vuông góc với CA) \( \Rightarrow \frac{{DF}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}}\)

Tương tự với AC // DE \( \Rightarrow \frac{{DE}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{DF}}{{AB}} + \frac{{DE}}{{AC}} = \frac{{CD + BD}}{{BC}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{AD}}{{AB\sqrt 2 }} + \frac{{AD}}{{AC\sqrt 2 }} = \frac{{BC}}{{BC}} \Leftrightarrow \frac{{AD}}{{AB\sqrt 2 }} + \frac{{AD}}{{AC\sqrt 2 }} = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{AC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{AD}}\).