Cho ΔABC vuông tại A, \(BC = 3\sqrt 5 \) cm. Hình vuông ADEF có cạnh 2 cm, D ∈ AB, E ∈ BC, F ∈ AC.

a) Tính AB, AC.

b) Tính diện tích, chu vi ΔABC.

Lời giải

Đặt BD = x, CF = y

Vì ADEF có hình vuông cạnh 2cm

Nên DE = FE = AD = FA = 2 cm và \(\widehat {A{\rm{D}}E} = \widehat {DEF} = \widehat {AFE} = 90^\circ \)

Hay DE ⊥ AB

Mà AC ⊥ AB

Suy ra AC // DE (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Do đó \(\widehat {BE{\rm{D}}} = \widehat {ECF}\) (hai góc đồng vị)

Xét DBDE và DEFC có

\(\widehat {BE{\rm{D}}} = \widehat {ECF}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {B{\rm{D}}E} = \widehat {{\rm{EFC}}}\left( { = 90^\circ } \right)\)

Do đó  (g.g)

Suy ra \(\frac{{BD}}{{FE}} = \frac{{F{\rm{E}}}}{{FC}}\)

Hay \(\frac{x}{2} = \frac{2}{y}\)

Suy ra xy = 4

Vì tam giác ABC vuông tại A

Nên AB² + AC² = BC² (định lý Pytago)

Hay (x + 2)² + (y + 2)² = 45

⇔ x² + y² + 4(x + y) + 8 = 45

⇔ x² + y² + 4(x + y) = 37

⇔ (x + y)² + 4(x + y) – 2xy = 37

⇔ (x + y)² + 4(x + y) – 8 = 37

⇔ (x + y)² + 4(x + y) – 45 = 0

⇔ (x + y – 5)(x + y + 9) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y - 5 = 0\\x + y + 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y = 5\\x + y = - 9\end{array} \right.\)

⇔ x + y = 5

⇔ x = 5 – y

Mà xy = 4

Suy ra y(5 – y) = 4

⇔ y – 5y + 4 = 0

⇔ (y – 1)(y – 4) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y - 1 = 0\\y - 4 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = 4\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy AC = 4 cm, AB = 1 cm hoặc AC = 1 cm, AB = 4 cm.

b) Chu vi tam giác ABC là \(AB + AC + BC = 5 + 3\sqrt 5 \) cm

Diện tích tam giác ABC là: \[{{\rm{S}}_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.4 = 2\] cm².