Cho abc ≠ 1 và \(\frac{{ab + 1}}{b}\,\, = \,\,\frac{{bc + 1}}{c}\,\, = \,\,\frac{{ca + 1}}{a}\). Chứng minh rằng a = b = c.

Ta có: \(\frac{{ab + 1}}{b}\,\, = \,\,\frac{{bc + 1}}{c}\,\, = \,\,\frac{{ca + 1}}{a}\), suy ra: \(a + \frac{1}{b}\, = \,\,b + \frac{1}{c}\,\, = \,\,c + \frac{1}{a}\).

Từ \(a + \frac{1}{b}\, = \,b + \frac{1}{c}\,\) suy ra: a – b = \(\frac{{b - c}}{{bc}}\) (1)

Tương tự ta có: b – c = \(\frac{{c - a}}{{ac}}\) (2)

c – a = \(\frac{{a - b}}{{ab}}\) (3)

Nhân (1), (2) , (3) theo vế ta có:

(a – b)(b – c)(c – a) = \(\frac{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}\)

hay (a – b)(b – c)(c – a)\(\left( {1 - \frac{1}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}} \right)\) = 0

Vì abc ≠ 1 nên a²b²c² ≠ 1. Suy ra: \(\left( {1 - \frac{1}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}} \right) \ne 0\)

Do đó: (a – b)(b – c)(c – a) = 0

Suy ra: a = b hoặc b = c hoặc c = a

Với a = b, thay vào (1) suy ra: b = c. Vậy a = b = c

Tương tự đối với b = c hoặc c = a.

Vậy a = b = c.