Cho ΔABC có hai trung tuyến CM, BN bằng nhau và cắt nhau tại G

Đề bài. Cho ΔABC có hai trung tuyến CM, BN bằng nhau và cắt nhau tại G. Chứng minh tam giác ABC cân.

Trả lời

Vì G là giao điểm của hai đường trung tuyến BN và CM của tam giác ABC nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Do đó $CG=\frac{2}{3}CM;BG=\frac{2}{3}BN$

Mà CM = BN (giả thiết) nên CG = BG.

Δ∆BGC có CG = BG nên Δ∆BGC cân tại G.

Suy ra $\widehat{GBC}=\widehat{GCB}$ (tính chất tam giác cân)

Xét Δ∆BMC và Δ∆CNB có:

MC = NB (theo giả thiết),

$\widehat{MCB}=\widehat{NBC}$ (do $\widehat{GBC}=\widehat{GCB}$)

BC là cạnh chung.

Do đó Δ∆BMC = Δ∆CNB (c.g.c).

Suy ra $\widehat{MBC}=\widehat{NCB}$ (hai góc tương ứng).

Tam giác ABC có $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ nên Δ∆ABC cân tại A.

Vậy nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.