Cho ∆ABC có AB = AC. Tia phân giác góc A cắt BC tại D.

a. Chứng minh ∆ADB = ∆ADC.

b. Chứng minh AD ⊥  BC.

c. Kẻ DH ⊥ AB (H ∈ AB), DK ⊥ AC (K ∈ AC). Chứng minh DH = DK.

Lời giải:

a. Xét ∆ADB và ∆ADC có:

AD cạnh chung

\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\)(Vì AD là tia phân giác góc A)

AB = AC (gt)

Do đó, ∆ADB = ∆ADC (c.g.c).

b. Theo câu a ta có ∆ADB = ∆ADC \( \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {ADC}\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat {ADB} + \widehat {ADC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {ADC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \Rightarrow AD \bot BC\).

c. Vì ∆ADB = ∆ADC (Theo câu a)

⇒ BD = CD (2 cạnh tương ứng); \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\)(2 góc tương ứng).

Mà \(\widehat {ABD} + \widehat {BDH} = 90^\circ ;\widehat {ACD} + \widehat {CDK} = 90^\circ \). Do đó, \(\widehat {BDH} = \widehat {CDK}\).

Xét ∆HBD và ∆KCD có:

\(\widehat {BDH} = \widehat {CDK}\left( {cmt} \right)\)

BD = CD (cmt)

\(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\left( {cmt} \right)\)

Do đó, \(\Delta HBD = \Delta KCD\left( {g.c.g} \right)\)

\( \Rightarrow DH = DK\)(2 cạnh tương ứng).