Cho ∆ABC có AB = 6 cm, AC = 3 cm, \(\widehat {BAC} = 60^\circ \), M là điểm thỏa mãn \(\)\(\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \). Tính độ dài đoạn AM.

Áp dụng định lí côsin ta được:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \widehat {BAC}\)

\( \Rightarrow B{C^2} = {6^2} + {3^2} - 2.6.3.\cos 60^\circ \Rightarrow B{C^2} = 27\)

\( \Rightarrow BC = 3\sqrt 3 cm\)

\( \Rightarrow A{B^2} = B{C^2} + A{C^2}\)⇒ ∆ABC vuông tại C

Mặt khác: \(\)\(\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = 0 \Rightarrow CM = \frac{1}{3}BC = \sqrt 3 cm\)

Áp dụng định lý Pytago ta được:

\(AM{}^2 = A{C^2} + C{M^2} \Rightarrow AM = \sqrt {A{C^2} + C{M^2}} = \sqrt {9 + 3} \Rightarrow AM = 2\sqrt 3 cm\).