Cho ∆ABC cân tại A. Lấy M bất kì thuộc cạnh BC, kẻ MD ⊥ AB tại D, ME ⊥ AC tại E. Gọi D' là điểm đối xứng của D qua BC.

a. Chứng minh ba điểm E, M, D' thẳng hàng.

b. Kẻ BF ⊥ AC tại F. Chứng minh ED' = BF.

Lời giải:

a. D’ đối xứng với D qua BC

⇒ DD’ ⊥ BC và ID’ = ID (với I là giao điểm của DD’ và BC)

⇒ ∆DMD’ cân tại M.

Do đó đường cao MI đồng thời là phân giác của tam giác DMD'.

Suy ra \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}\)

Mà \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_3}}\)(cùng phụ với \(\widehat B = \widehat C\))

\( \Rightarrow \widehat {{M_2}} = \widehat {{M_3}}\) mà \(\widehat {{M_3}} + \widehat {EMB} = 180^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {{M_2}} + \widehat {EMB} = 180^\circ \)

Vậy E, M, D’ thẳng hàng.

b. Dễ thấy ∆BDM = ∆BD’M (c.g.c)

\( \Rightarrow \widehat {BD'M} = \widehat {BDM} = 90^\circ \)hay D’B ⊥ D’E ⇒ D’B // EF

Lại có BF // D’E (⊥ AC) nên BFED’ là hình thang có 2 cạnh bên song song.

⇒ ED’ = BF.