Cho ∆ABC cân tại A, đường cao AD, trực tâm H.

a) Gọi E là điểm đối xứng với H qua D. Chứng minh rằng: ABEC là tứ giác nội tiếp.

b) Tính HD và bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC biết HA = 7 cm, HB = 2 cm.

Lời giải:

a) ΔABC cân tại A có đường cao AD

⇒ AD đồng thời là đường trung tuyến của ΔABC ⇒ D là trung điểm BC.

Mà D là trung điểm EH (vì E và H đối xứng qua D).

⇒ Tứ giác BECH là hình bình hành.

Ta lại có: BC ⊥ EH tại D ⇒ BECH là hình thoi ⇒ BH = BE.

BE // CH; CE // BH; H là trực tâm ΔABC ⇒ CH ⊥ AB ⇒ BE ⊥ AB

BH ⊥ AC ⇒ CE ⊥ AC

\( \Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {ACE} = 90^\circ ;\widehat {ABE} + \widehat {ACE} = 180^\circ \)

⇒ ABEC nội tiếp đường tròn (O) đường kính AE (với O là trung điểm AE).

b) Ta có: BE = HB; DE = HD (câu a)

AE = HA + HD + DE = HA + 2HD

Đặt HD = x (x > 0)

HA = 7 cm; HB = 2 cm

ΔABE vuông tại B đường cao BD

\( \Rightarrow B{E^2} = DE.AE\) (hệ thức lượng trong ∆ vuông)

⇔ \(H{B^2}\)= HD.(HA + 2HD)

⇔ 22 = x(7 + 2x)

⇔ \(2{x^2}\)+ 7x – 4 = 0

⇔ \(2{x^2}\)+ 8x – x – 4 = 0

⇔ 2x(x + 4) − (x + 4) = 0

⇔ (x + 4)(2x − 1) = 0

⇔ x = −4 (loại) hoặc x = 0,5 (nhận)

⇒ HD = x = 0,5 cm

⇒ AE = HA + 2HD = 7 + 2.0,5 = 8 cm

⇒ R = OA = 12AE = 12.8 = 4 cm

Vậy HD = 0,5cm và bán kính đường tròn (O) ngoại tiếp ΔABC là R = 4 cm.