Cho a^2 (b + c) = b^2 (c + a) = 2018 với a, b, c đôi một khác nhau và khác 0. Tìm giá trị của biểu thức c^2 (a + b

Câu 44: Cho a²(b + c) = b²(c + a) = 2018 với a, b, c đôi một khác nhau và khác 0. Tìm giá trị của biểu thức c²(a + b).

Trả lời

Ta có: a²(b + c) = b²(c + a)

⇔ a²b + a²c = b²c + b²a

⇔ a²b −  b²a + a²c − b²c = 0

⇔ ab(a − b) + c(a² − b²) = 0

⇔ ab(a − b) + c(a − b)(a + b) = 0

⇔ (a − b)[ab + c(a + b)] = 0

⇔ (a − b)[ab + c(a + b)] = 0

⇔ (a − b)(ab + bc + ca) = 0

Do a ≠ b ⇒ ab + bc + ca = 0

Xét hiệu c²(a + b) − a²(b + c) = ac² + bc² − a²b − a²c

= ac(c − a) + b(c − a)(c + a)

= (c − a)(ac + bc + ab) = 0

Do đó: c²(a + b) = a²(b + c) = 2018