Cho A = n^6 + 10n^4 + n^3 + 98n - 6n^5 - 26 và B = 1 + n^3 - n. Chứng minh mọi n ∈ ℤ thì
Câu 20: Cho A = n6 + 10n4 + n3 + 98n - 6n5 - 26 và B = 1 + n3 - n.
Chứng minh mọi n ∈ ℤ thì thương của phép chia a cho b là bội của 6.
Ta có n6 + 10n4 + n3 + 98n - 6n5 - 26
= (1 + n3 - n)(n3 - 6n2 + 11n - 6) + 17n2 + 81n - 20.
Thương của phép chia A cho B, ta được:
n3 - 6n2 + 11n - 6 và dư 17n2 + 81n - 20
Lại có: n3 - 6n2 + 11n - 6
= n3 - n + 12n - 6n2 - 6
= (n - 1)n.(n + 1) + 6.(2n - n2 + 1).
Vì (n - 1).n.(n + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tích đó vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3 suy ra tích đó chia hết cho 6.
Mặt khác 6(2n - n2 + 1) chia hết cho 6.
Do đó thương của phép chia A cho B là bội số của 6.
Vậy với mọi n ∈ ℤ thì thương của phép chia a cho b là bội của 6.