Cho a lớn hơn 0 và b lớn hơn 0. Chứng minh rằng ( 1 a + 1 b ) ( a + b ) ≥ 4

Đề bài: Cho a lớn hơn 0 và b lớn hơn 0. Chứng minh rằng

$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge 4$

Trả lời

Hướng dẫn giải:

$$\begin{gathered} \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge 4 \\ \iff 1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1\ge 4 \\ \iff \frac{b^2+a^2}{ab}\ge 2 \end{gathered}$$

Vì a > 0 và b > 0  ⇒ ab > 0

Vậy $\frac{b^2+a^2}{ab}\ge 2\iff b^2+a^2\ge 2ab$

$\iff {\left(a-b\right)}^2\ge 0$.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.