Cho A = căn bậc hai của 2018^2 + 2018^2.2019^2 + 2019^2. Chứng minh A là một số tự nhiên.

Trả lời

Lời giải

Đặt n = 2018. Suy ra n + 1 = 2019 và n² + n + 1 > 0.

Ta có \(A = \sqrt {{{2018}^2} + {{2018}^2}{{.2019}^2} + {{2019}^2}} \)

\( = \sqrt {{n^2} + {n^2}.{{\left( {n + 1} \right)}^2} + {{\left( {n + 1} \right)}^2}} \)

\( = \sqrt {{n^2} + {n^2}.\left( {{n^2} + 2n + 1} \right) + {n^2} + 2n + 1} \)

\( = \sqrt {{n^2} + {n^4} + 2{n^3} + {n^2} + {n^2} + 2n + 1} \)

\( = \sqrt {{n^4} + 2{n^2}\left( {n + 1} \right) + {{\left( {n + 1} \right)}^2}} \)

\( = \sqrt {{{\left( {{n^2} + n + 1} \right)}^2}} \)

= |n² + n + 1|

= n² + n + 1.

Ta thấy n = 2018 là một số tự nhiên.

Suy ra n² là một số tự nhiên.

Do đó n² + n + 1 là một số tự nhiên.

Vậy A là một số tự nhiên.