Cho a, b thuộc ℕ. Chứng tỏ rằng nếu 5a + 3b và 13a + 8b cùng chia hết cho 2012 thì a và b cũng chia hết cho 2012.
Cho a, b thuộc ℕ. Chứng tỏ rằng nếu 5a + 3b và 13a + 8b cùng chia hết cho 2012 thì a và b cũng chia hết cho 2012.
Lời giải:
Ta có 5a + 3b chia hết cho 2012 nên 13(5a + 3b) chia hết cho 2012
Do đó 65a + 39b chia hết cho 2012 (1)
Lại có: 13a + 8b chia hết cho 2012 nên 5(13a + 8b) chia hết cho 2012
Suy ra 65a + 40b chia hết cho 2012 (2)
Từ (1) và (2) suy ra (65a + 40b) – (65a + 39b) chia hết cho 2012.
Khi đó, b chia hết cho 2012.
Tương tự, ta có: a chia hết cho 2012.
Vậy a, b cũng chia hết cho 2012.