Cho a, b ∈ ℝ. Chứng minh rẳng: 2(a^4 + b^4) ≥ a.b^3 + a^3.b + 2.a^2.b^2

Câu 27: Cho a, b ∈ ℝ. Chứng minh rẳng: 2(a⁴ + b⁴) ≥ ab³ + a³b + 2a²b².

Trả lời

Ta có: 2(a4 + b4) ≥ ab3 + a3b + 2a2b2

⇔ a4 – 2a2b2 + b4 + a4 – a3b + b4 – ab3 ≥ 0

⇔ (a2 – b2)2 + a3(a – b) – b3(a – b) ≥ 0

⇔ (a2 – b2)2 + (a3 – b3)(a – b) ≥ 0

⇔ (a – b)2[(a + b)2 + (a2 + ab + b2)] ≥ 0

⇔ (a – b)2[3(a + b)2 + a2 + b2] ≥ 0

Dấu “=” xảy ra khi a = b.