Cho a ≠ b ≠ c thỏa mãn a^2(b + c) = b^2(c + a) = 2012. Tính M = c^2(a + b

Câu 19: Cho a ≠ b ≠ c thỏa mãn a²(b + c) = b²(c + a) = 2012. Tính M = c²(a + b).

Trả lời

Ta có a2(b + c) = b2(c + a).

⇔ a2b – ab2 + a2c – b2c = 0.

⇔ ab(a – b) + c(a2 – b2) = 0.

⇔ ab(a – b) + c(a – b)(a + b) = 0.

⇔ (a – b)(ab + ca + bc) = 0 (vì a ≠ b nên a – b ≠ 0).

⇔ ab + bc + ca = 0.

Lại có a2(b + c) = b2(c + a).

$\iff \frac{a^2}{c+a}=\frac{b^2}{b+c}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

$\frac{a^2}{c+a}=\frac{b^2}{b+c}=\frac{a^2-b^2}{c+a-b-c}=\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{a-b}=a+b$ (a ≠ b).

⇒ a2 = (a + b)(a + c).

⇒ a2(b + c) = (a + b)(a + c)(b + c).

⇒ 2012 = (a + b)(ab + ac + bc + c2).

⇒ 2012 = (a + b)c2.

Vậy M = c2(a + b) = 2012.