Cho a, b, c ∈ ℝ thỏa mãn a^2 + b^2 + c^2 = a^3 + b^3 + c^3 = 1. Tính a^2012 + b^2013 + c^2014

Câu 13: Cho a, b, c ∈ ℝ thỏa mãn a² + b² + c² = a³ + b³ + c³ = 1.

Tính a²⁰¹² + b²⁰¹³ + c²⁰¹⁴.

Trả lời

Ta có: a² + b² + c² = 1 ⇒ a², b², c² ≤ 1 ⇒ a, b, c ≤ 1

Lại có: a² + b² + c² = a³ + b³ + c³

⇔ a³ − a² + b³ − b² + c³ − c² = 0

⇔ a²(a − 1) + b²(b − 1) + c²(c − 1) = 0.

Mà do $\left\{\begin{array}{l}{a}^2,b^2,c^2\ge 0\\ a,b,c\le 1\end{array}\right.\Rightarrow a^2\left(a-1\right)+b^2\left(b-1\right)+c^2\left(c-1\right)\le 0$ .

Suy ra phải có: a²(a − 1) = b²(b − 1) = c²(c − 1) = 0.

Kết hợp giả thiết suy ra 3 số a, b, c phải có 1 số bằng 1 và 2 số còn lại bằng 0.

Khi đó a²⁰¹² + b²⁰¹³ + c²⁰¹⁴ = 1.