Cho a, b, c thỏa mãn a + b + c = \(\frac{3}{2}\).

Chứng minh rằng: a² + b² + c² ≥ \(\frac{3}{4}\).

Lời giải

Áp dụng bất dẳng thức Cô – si ta có:

a² + \(\frac{1}{4}\)≥ \(2\sqrt {\frac{{{a^2}}}{4}} = \left| a \right| \ge a\)

b² + \(\frac{1}{4}\)≥ \(2\sqrt {\frac{{{b^2}}}{4}} = \left| b \right| \ge b\)

c² + \(\frac{1}{4}\)≥ \(2\sqrt {\frac{{{c^2}}}{4}} = \left| c \right| \ge c\)

Suy ra a² + \(\frac{1}{4}\) + b² + \(\frac{1}{4}\) + c² + \(\frac{1}{4}\) ≥ a + b + c

Hay a² + b² + c² + \(\frac{3}{4}\)≥ \(\frac{3}{2}\)

Nên a² + b² + c² ≥ \(\frac{3}{4}\)

Vậy với a + b + c = \(\frac{3}{2}\) thì a² + b² + c² ≥ \(\frac{3}{4}\).