Đặt  $\text{x = b + c - a}$

$y=a+c-b$

$z=a+b-c$

$\Rightarrow x+z=b+c-a+a+b-c=2b$

$x+y=b+c-a+a+c-b=2c$

$y+z=a+c-b+a+b-c=2a$

Ta có: $\text{2A = }\frac{\text{y + z}}{\text{x}}\text{ + }\frac{\text{x + z}}{\text{y}}\text{ + }\frac{\text{x + y}}{\text{z}}$

$\text{= }\frac{\text{y}}{\text{x}}\text{ + }\frac{\text{z}}{\text{x}}\text{ + }\frac{\text{x}}{\text{y}}\text{ + }\frac{\text{z}}{\text{y}}\text{ + }\frac{\text{x}}{\text{z}}\text{ + }\frac{\text{y}}{\text{z}}$

$\text{= }\left(\frac{\text{y}}{\text{x}}\text{ + }\frac{\text{x}}{\text{y}}\right)\text{ + }\left(\frac{\text{z}}{\text{y}}\text{ + }\frac{\text{y}}{\text{z}}\right)\text{ + }\left(\frac{\text{x}}{\text{z}}\text{ + }\frac{\text{z}}{\text{x}}\right)$

Dễ chứng minh $\frac{\text{a}}{\text{b}}\text{ + }\frac{\text{b}}{\text{a}}\ge 2$ với a, b > 0

$\Rightarrow \text{2A = }\left(\frac{\text{y}}{\text{x}}\text{ + }\frac{\text{x}}{\text{y}}\right)\text{ + }\left(\frac{\text{z}}{\text{y}}\text{ + }\frac{\text{y}}{\text{z}}\right)\text{ + }\left(\frac{\text{x}}{\text{z}}\text{ + }\frac{\text{z}}{\text{x}}\right)\ge 6$

$\Rightarrow \text{2A = }\frac{\text{y + z}}{\text{x}}\text{ + }\frac{\text{x + z}}{\text{y}}\text{ + }\frac{\text{x + y}}{\text{z}}\ge 6$

$\Rightarrow \text{2A = }\frac{\text{2a}}{\text{b + c - a}}\text{ + }\frac{\text{2b}}{\text{a + c - b}}\text{ + }\frac{\text{2c}}{\text{a + b - c}}\ge 6$

$\Rightarrow \text{A = }\frac{\text{a}}{\text{b + c - a}}\text{ + }\frac{\text{b}}{\text{a + c - b}}\text{ + }\frac{\text{c}}{\text{a + b - c}}\ge 3$ (Đpcm)