Cho a, b, c là các số tự nhiên thỏa mãn (a – b) là số nguyên tố và 3c^2 = c(a + b) + ab. Chứng minh rằng 8c + 1 là số chính

Câu 8: Cho a, b, c là các số tự nhiên thỏa mãn (a – b) là số nguyên tố và 3c² = c(a + b) + ab. Chứng minh rằng 8c + 1 là số chính phương.

Trả lời

Ta có:

3c2 = c(a + b) + ab

⇔ 2c2 = ca + cb + ab + c2

⇔ 2c2 = c(a + c) + b(c + a)

⇔ 2c2 = (a + c) (b + c)

Gọi d  gcd(a + c, b + c)

Do a – b = p ∈ P nên d = 1 hoặc d = p

+) Nếu d = 1

Thì a + c = x2, b + c = y2 (xy = 2c)

Suy ra p = (x – y)(x + y).p = 2 (vô lý)

p lẻ thì dễ thấy $\text{x}=\frac{p+1}{2}=\frac{a-b+1}{2}$ và $y=\frac{a-b-1}{2}$

Suy ra $2c=xy=\frac{\left(a-b-1\right)\left(a-b+1\right)}{4}$

Do đó 8c + 1 = (a – b)2 là số chính phương

+) Nếu d = p thì a + c = pm2, b + c = pn2 (2c = pmn)

Suy ra (m – n)(m + n) = 1

Do đó m = 1 và n = 0 (loại)

Vậy 8c + 1 là số chính phương.