Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh

Câu 39: Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh $\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\le 1$.

Trả lời

Ta có: $\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\le 1$

⇔ (b + 2)(c + 2) + (a + 2)(c + 2) + (a + 2)(b + 2) ≤ (a + 2)(b + 2)(c + 2)

⇔ ab +bc + ca + 4(a + b + c) + 12 ≤ abc + 2(ab + bc + ca) + 4(a + b + c) + 8

⇔ ab + bc + ca + 4(a + b + c) + 12 ≤ 1 + 2(ab + bc + ca) + 4(a + b + c) + 8

⇔ ab + bc + ca ≥ 3

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương ta có:

$ab+bc+ca\ge 3\sqrt[3]{3{\left(abc\right)}^2}\ge 3$

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.