Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng: b + c ≥ 16abc

Câu 45: Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

b + c ≥ 16abc.

Trả lời

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

(a + b + c)2 ≥ 4a(b + c)

(b + c)2 ≥ 4bc

Nhân từng vế, ta có: (a + b + c)2 . (b + c)2 ≥ 4a(b + c) . 4bc.

Do đó b + c ≥ 16bc.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\{\begin{array}{c}a=\frac{1}{2}\\ b=c=\frac{1}{4}\end{array}$ .

Vậy b + c ≥ 16abc (đpcm).