Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh b + c ≥ 16 a b c

Đề bài: Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh 

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$a+b+c=1\Rightarrow a=1-b-c$

Điều phải cm

$$\begin{gathered} \iff b+c\ge 16\left(1-b-c\right)bc \\ \iff b+c-16\left(1-b-c\right)bc\ge 0 \\ \iff b+c-16bc+16b^{2}c+16b{c}^2\ge 0 \\ \iff \left(16b^{2}c-8bc+c\right)+\left(16b{c}^2-8bc+b\right)\ge 0 \\ \iff c\left(16b^2-8bc+1\right)+b\left(16c^2-8c+1\right)\ge 0 \end{gathered}$$

$\iff c{\left(4b-1\right)}^2+b{\left(4c-1\right)}^2\ge 0$ (luôn đúng) →đpcm

Dấu “=” xảy ra $\left(a,b,c\right)\in \left\{\left(\mathrm{1,0,0}\right);\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)\right\}$