Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 tỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng

Câu 23: Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 tỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$ là bình phương của một số hữu tỉ.

Trả lời

Ta có: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}={\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}^2-2.\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)$

$={\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}^2-2.\frac{a+b+c}{abc}={\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}^2-2.\frac{0}{abc}$

$={\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}^2$ (đpcm)