Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC. Biết a^3 (b − c) + b^3 (c − a) + c^3 (a − b) = 0. Chứng minh: tam giác

Câu 7: Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC. Biết a³(b − c) + b³(c − a) + c³(a − b) = 0. Chứng minh: tam giác ABC cân.

Trả lời

a3(b − c) + b3(c − a) + c3(a − b) = 0

⇔ a3b − a3c + b3c − ab3 + c3(a − b) = 0

⇔ a3b − a3c + b3c − ab3 + c3(a − b) = 0

⇔ ab(a2 − b2) − c(a3 − b3) + c3(a − b) = 0

⇔ ab(a − b)(a + b) − c(a − b)(a2 + ab + b2) + c3(a − b) = 0

⇔ (a − b)[ab(a + b) − c(a2 + ab + b2) + c3] = 0

⇔ (a − b)[ab(a + b) − c(a2 + ab + b2) + c3] = 0

⇔ (a − b)[ab(a + b) − ac(a + b) + b2c + c3] = 0

⇔ (a − b)[a(a + b)(b − c) − c(b2 − c2)] = 0

⇔ (a − b)[a(a + b)(b − c) − c(b − c)(b + c)] = 0

⇔ (a − b)(b − c)[a(a + b) − c(b + c)] = 0

⇔ (a − b)(b − c)[(a2 − c2) + (ab − bc)] = 0

⇔ (a − b)(b − c)[(a − c)(a + c) + b(a − c)] = 0

⇔ (a − b)(b − c)(a − c)(a + b + c) = 0

⇒ (a − b)(b − c)(a − c) = 0

 $\Rightarrow [\begin{array}{c}a-b=0\\ b-c=0\\ a-c=0\end{array}\iff [\begin{array}{c}a=b\\ b=c\\ a=c\end{array}$

Vậy ABC là tam giác cân.