Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn (a+b)/c = (b+c)/a = (c+a)/b

Đề bài: Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn $\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}$

Tính giá trị của biểu thức $P=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)$ 

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

$$\begin{gathered} \frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b+b+c+c+a}{c+a+b}=\frac{2(a+b+c)}{(a+b+c)}=2 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a+b=2c\\ b+c=2\text{a}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2c-b\\ b+c=2\text{a}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2c-b\\ b+c=2(2c-b)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=2c-b\\ b+c=4c-2b\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2c-b\\ 3b=3c\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2c-b\\ b=c\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=2c-c\\ b=c\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=c\\ b=c\end{array}\right.\iff a=b=c \end{gathered}$$

Khi đó P = (1 + 1). (1 + 1). (1 + 1) = 2. 2. 2 = 8

Vậy P = 8.