Cho \(\frac{a}{b}\,\, = \,\,\frac{c}{d}\). Các số x, y, z, t thỏa mãn xa + yb ≠ 0 và zc + td ≠ 0.

Chứng minh: \(\frac{{xa + yb}}{{za + tb}}\,\, = \,\,\frac{{xc + yd}}{{zc + td}}\).

Đặt \(\frac{a}{b}\,\, = \,\,\frac{c}{d}\)= k suy ra: a = bk; c = dk

Xét \(\frac{{xa + yb}}{{za + tb}}\,\, = \,\,\frac{{xbk + yb}}{{zbk + tb}}\, = \,\frac{{b\left( {xk + y} \right)}}{{b\left( {zk + t} \right)}}\, = \,\frac{{\left( {xk + y} \right)}}{{\left( {zk + t} \right)}}\)(1)

\(\,\,\frac{{xc + yd}}{{zc + td}}\, = \,\frac{{xdk + yd}}{{zdk + td}}\, = \,\frac{{d\left( {xk + y} \right)}}{{d\left( {zk + t} \right)}} = \frac{{xk + y}}{{zk + t}}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{{xa + yb}}{{za + tb}}\,\, = \,\,\frac{{xc + yd}}{{zc + td}}\).