Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Tìm GTLN

Đề bài: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Tìm GTLN của a/(a+1) + b/(b+1) + c/(c+1)

Trả lời

Hướng dẫn giải:

$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=a-\frac{a^2}{a+1}+b-\frac{b^2}{b+1}+c-\frac{c^2}{c+1}=1-\left(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\right)$

Áp dụng BĐT Cauchy dạng phân thức $\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge \frac{{\left(a+b+c\right)}^2}{a+b+c+3}=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$

$\to \frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\le 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

→ GTLN $=\frac{3}{4}$  Dấu “=” xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$