Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a^2 + b^2 + c^2 = 3. Tìm GTNN của: A = a^3 + b^3 + c^3

Câu 13: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a² + b² + c² = 3. Tìm GTNN của: A = a³ + b³ + c³

Trả lời

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:

$$\begin{gathered} a^3+a^3+1\ge 3\sqrt[3]{a^6}=3a^2 \\ {b}^3+b^3+1\ge 3\sqrt[3]{b^6}=3b^2 \\ {c}^3+c^3+1\ge 3\sqrt[3]{c^6}=3c^2 \end{gathered}$$

Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ta có:

2(a³ + b³ + c³) + 3 ≥ 3(a² + b² + c²)

⇔ 2A + 3 ≥ 9

⇔ A ≥ 3

Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c = 1.

Vậy A_min = 3 khi và chỉ khi a = b = c = 1.