Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a² + b² + c² = 3. Tìm GTNN của: A = a³ + b³ + c³

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:

\({a^3} + {a^3} + 1 \ge 3\sqrt[3]{{{a^6}}} = 3{a^2}\)

\({b^3} + {b^3} + 1 \ge 3\sqrt[3]{{{b^6}}} = 3{b^2}\)

\({c^3} + {c^3} + 1 \ge 3\sqrt[3]{{{c^6}}} = 3{c^2}\)

Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ta có:

2(a³ + b³ + c³) + 3 ≥ 3(a² + b² + c²)

⇔ 2A + 3 ≥ 9

⇔ A ≥ 3

Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c = 1.

Vậy A_min = 3 khi và chỉ khi a = b = c = 1.