Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng

Đề bài: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\ge \frac{3}{2}$

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

$$\begin{gathered} \frac{a}{b^2+1}=a-\frac{a{b}^2}{b^2+1}\ge a-\frac{a{b}^2}{2b}=a-\frac{ab}{2} \\ \frac{b}{c^2+1}=b-\frac{b{c}^2}{c^2+1}\ge b-\frac{b{c}^2}{2c}=b-\frac{cb}{2} \\ \frac{c}{a^2+1}=c-\frac{c{a}^2}{a^2+1}\ge c-\frac{c{a}^2}{2a}=c-\frac{ac}{2} \end{gathered}$$

Cộng ba vế bất đẳng thức lại ta được:

$\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\ge a+b+c-\left(\frac{ab+bc+ac}{2}\right)$

Ta có: $ab+bc+ac\le \frac{{\left(a+b+c\right)}^2}{3}=\frac{9}{3}=3$

$\Rightarrow \frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\ge 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$