Cho a, b, c > 0. Chứng minh a^5 /b^2 + b^5/c^2+c^5/a^2>= a^3+b^3+c^3

Đề bài. Cho a, b, c > 0. Chứng minh $\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2}\ge a^3+b^3+c^3$

Trả lời

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

$\frac{a^5}{b^2}+\frac{a^5}{b^2}+\frac{a^5}{b^2}+b^3+b^3\ge 5\sqrt[5]{\frac{a^5}{b^2}.\frac{a^5}{b^2}.\frac{a^5}{b^2}.b^3.b^3}=5a^3$

⇒ $\frac{3a^5}{b^2}+2b^3\ge 5a^3$

Tương tự ta được: $\frac{3b^5}{c^2}+2c^3\ge 5b^3$

$\frac{3c^5}{a^2}+2b^3\ge 5c^3$

Cộng vế theo vế ta được:

$\frac{3a^5}{b^2}+2b^3+\frac{3b^5}{c^2}+2c^3+\frac{3c^5}{a^2}+2b^3\ge 5a^3+5b^3+5c^3=5(a^3+b^3+c^3)$

Suy ra: $3(\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2})+2(a^3+5b^3+5c^3)\ge 5(a^3+b^3+c^3)$

$3(\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2})\ge 3(a^3+b^3+c^3)$

Vậy $\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2}\ge a^3+b^3+c^3$

Dấu ‘=” xảy ra khi a = b = c.