Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng a^3 + b^3 + c^3 = 3abc

Đề bài: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng a³ + b³ + c³ = 3abc.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Ta có: a³ + b³ + c³ – 3abc = (a³ + b³) + c³ – 3abc

= (a + b)³ – 3ab(a + b) + c³ – 3abc

= [(a + b)³ + c³] – [3ab(a + b) – 3abc]

= (a + b + c)[(a + b)² – (a + b)c + c²] – 3ab(a + b + c)

= (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – ac – bc)

Mà a + b + c = 0 nên suy ra a³ + b³ + c³ – 3abc = 0.

Suy ra a³ + b³ + c³ = 3abc (đpcm).