Cho a + b = 1 và ab ≠ 0. Chứng minh

Đề bài: Cho a + b = 1 và ab ≠ 0. Chứng minh   $\frac{a}{b^2-1}+\frac{b}{a^2-1}=\frac{2(ab-2)}{a^2{b}^2+3}$

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Với a + b = 1 và ab ≠ 0 ta có:

$$\begin{gathered} \frac{a}{b^3-1}+\frac{b}{a^3-1}=\frac{a\left(a^3-1\right)+b\left(b^3-1\right)}{\left(a^3-1\right).\left(b^3-1\right)}=\frac{a^4+b^4-\left(a+b\right)}{a^3{b}^3-\left(a^3+b^3\right)+1} \\ =\frac{{\displaystyle \left(a^4+2a^2{b}^2+b^4-2a^2{b}^2\right)-1}}{{\displaystyle a^3{b}^3-\left[{\left(a+b\right)}^3-3ab\left(a+b\right)\right]+1}}=\frac{{\displaystyle {\left(a^2+b^2\right)}^2-2a^2{b}^2-1}}{{\displaystyle a^3{b}^3-1+3ab+1}} \\ =\frac{{\left[{\left(a+b\right)}^2-2ab\right]}^2-2a^2{b}^2-1}{a^3{b}^3+3ab}=\frac{1-4ab+4a^2{b}^2-2a^2{b}^2-1}{ab\left(a^2{b}^2+3\right)} \\ =\frac{{\displaystyle 2a^2{b}^2-4ab}}{{\displaystyle ab\left(a^2{b}^2+3\right)}}=\frac{{\displaystyle 2ab\left(ab-2\right)}}{{\displaystyle ab\left(a^2{b}^2+3\right)}}=\frac{{\displaystyle 2\left(ab-2\right)}}{{\displaystyle a^2{b}^2+3}} \end{gathered}$$