Cho A = 1 + 4 + 4^2 + 4^3 +...+ 4^11. Chứng tỏ rằng

Đề bài: Cho A = 1 + 4 + 4² + 4³ +...+ 4¹¹. Chứng tỏ rằng:

a) A chia hết cho 21;

b) A chia hết cho 105;

c) A chia hết cho 4097.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

a) A=1 + 4 + 4² + 4³ + ... +4¹¹

= (1 + 4 + 4²) + (4³ + 4⁴ + 4⁵) + (4⁶ + 4⁷ + 4⁸) + (4⁹ + 4¹⁰ + 4¹¹)

= (1 + 4 + 4²) + (4³.1 + 4³.4 + 4³.4²) + (4⁶.1 + 4⁶.4 + 4⁶.4²) + (4⁹.1 + 4⁹.4 + 4⁹.4²)

= (1 + 4 + 4²).1 + 4³.(1 + 4 + 4²) + 4⁶.(1 + 4 + 4²) + 4⁹.(1 + 4 + 4²)

= 21.1 + 4³.21 + 4⁶.21 + 4⁹.21

= 21.(1 + 4³ + 4⁶ + 4⁹)

Suy ra A chia hết cho 21.

b) A = 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4¹¹

= (1 + 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + 4⁵) + (4⁶ + 4⁷ + 4⁸ + 4⁹ + 4¹⁰ + 4¹¹)

= (1 + 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + 4⁵) + (4⁶.1 + 4⁶.4 + 4⁶.4² + 4⁶.4³ + 4⁶.4⁴ + 4⁶.4⁵)

= (1 + 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + 4⁵).1 + 4⁶.(1 + 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + 4⁵)

= 1365.1 + 4⁶.1365

= 1365.1 + 4⁶.1365

= 1365.(1 + 4⁶)

Suy ra 1365 chia hết cho 105 nên A chia hết cho 105.