Cho A = 1 + 3 + 3² + 3² + … + 3¹¹. Chứng minh rằng:

a) A chia hết cho 13.

b) A chia hết cho 40.

Lời giải

a) Ta có : 

A = 1 + 3 + 3² + 3² + … + 3¹¹

A = (1 + 3 + 3²) + (3³ + 3⁴ + 3⁵) + (3⁶ + 3⁶ + 3⁸) + (3⁹ + 3¹⁰ + 3¹¹)

A = 1.(1 + 3 + 3²) + 3³.(1 + 3 + 3²) + 3⁶.(1 + 3 + 3²) + 3⁹.(1 + 3 + 3²)

A = (1 + 3 + 3²) . (1 + 3³ + 3⁶ + 3⁹)

A = 13 . (1 + 3³ + 3⁶ + 3⁹)

Vì 13 ⋮ 13 nên 13 . (1 + 3³ + 3⁶ + 3⁹) ⋮ 13

Vậy A ⋮ 13.

b) Ta có : 

A = 1 + 3 + 3² + 3² + … + 3¹¹

A = (1 + 3 + 3² + 3³) + (3⁴ + 3⁵ + 3⁶ + 3⁷) + (3⁸ + 3⁹ + 3¹⁰ + 3¹¹)

A = 1 . (1 + 3 + 3² + 3³) + 3⁴ . (1 + 3 + 3² + 3³) + 3⁸ . (1 + 3 + 3² + 3³)

A = (1 + 3 + 3² + 3³).(1 + 3⁴ + 3⁸)

A = 40 . (1 + 3⁴ + 3⁸)

Vì 40 ⋮ 40 nên 40 . (1 + 3⁴ + 3⁸) ⋮ 40

Vậy A ⋮ 40.