Cho A (– 1; 2); B(2; 0); C(3; 4).

a) Tính tọa độ trung điểm I của AC.

b) Tính tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

c) Tính tọa độ D: ABCD theo thứ tự là hình bình hành.

a) Vì I là trung điểm của AC nên

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = \frac{{ - 1 + 3}}{2} = 1\\{y_I} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = \frac{{2 + 4}}{2} = 3\end{array} \right.\)

Vậy I (1; 3)

b) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{ - 1 + 2 + 3}}{3} = \frac{4}{3}\\{y_G} = \frac{{{x_A} + {y_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{2 + 0 + 4}}{3} = 2\end{array} \right.\)

Vậy G (\(\frac{4}{3}\); 2)

c) Vì ABCD là hình bình hành nên

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + 1 = 3 - {x_D}\\0 - 2 = 4 - {y_D}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 0\\{y_D} = 6\end{array} \right.\)

Vậy D(0; 6)

d) Gọi K là trung điểm của AB

Suy ra \(\overrightarrow {E{\rm{A}}} + \overrightarrow {EB} = 2\overrightarrow {EK} \) và \(K\left( {\frac{1}{2};1} \right)\)

Ta có \(3\overrightarrow {E{\rm{A}}} + 2\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} = \overrightarrow {E{\rm{A}}} - \overrightarrow {EC} + 2\overrightarrow {E{\rm{A}}} + 2\overrightarrow {EB} = \overrightarrow {CA} + 4\overrightarrow {EK} \)

Mà \(3\overrightarrow {E{\rm{A}}} + 2\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} = \overrightarrow 0 \) nên \(\overrightarrow {AC} = 4\overrightarrow {EK} \)

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}3 + 1 = 4\left( {\frac{1}{3} - {x_E}} \right)\\4 - 2 = 4\left( {1 - {y_E}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} = \frac{{ - 2}}{3}\\{y_E} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\]

Vậy \(E\left( {\frac{{ - 2}}{3};\frac{1}{2}} \right)\).