Cho 3 số dương x, y, x thỏa mãn x + y + z = 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}}\).

Lời giải

Chứng minh bổ đề: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\) với a, b là các số dương.

Với a, b là các số dương ta có:

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{a + b}}{{ab}} - \frac{4}{{a + b}} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}} \ge 0\)

Û a² + 2ab + b² – 4ab ≥ 0 (do ab(a + b) > 0 với mọi a, b > 0).

Û a² – 2ab + b² ≥ 0

Û (a – b­)² ≥ 0 (luôn đúng với mọi a, b > 0)

Vậy bổ đề được chứng minh.

Áp dụng bổ đề trên ta có:

\(P = \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}} \ge \frac{4}{{yz + xz}} = \frac{4}{{z\left( {y + x} \right)}} = \frac{4}{{z\left( {3 - z} \right)}} = \frac{4}{{3z - {z^2}}}\)

(Do x + y + z = 3 suy ra y + x = 3 – z)

Ta có: 3z – z² = \(3z - {z^2} = - \left( {{z^2} - 3z} \right) = - {\left( {z - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{9}{4} \le \frac{9}{4}\) với mọi z > 0

Do đó \(P \ge \frac{4}{{3z - {z^2}}} \ge \frac{4}{{\frac{9}{4}}} = \frac{{16}}{9}\)

Hay \(P \ge \frac{{16}}{9}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(z - \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow z = \frac{3}{2}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng \(\frac{{16}}{9}\) tại \(x + y = z = \frac{3}{2}\).