Cho 2^n - 1 là số nguyên tố. Chứng minh n cũng là số nguyên tố

Đề bài: Cho 2^n - 1 là số nguyên tố. Chứng minh n cũng là số nguyên tố.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Giải thích các bước giải:

Giả sử n là hợp số $\to n=p.q(p,q\in N;p,q>1)$

Khi đó $2^n-1=2^{p}q-1={\left(2^p\right)}^q-1=(2^p-1){\left(2^p\right)}^q-1+{\left(2^p\right)}^q-2+\mathrm{...}+1)$

Vì $p>1\Rightarrow 2^p-1>1$ và ${\left(2^p\right)}^q-1={\left(2^p\right)}^q-2+\mathrm{...}+1>1$
Dẫn đến $2^n-1$ là hợp số: trái với giả thiết $2^n-1$ là số nguyên tố

Vậy n là số nguyên tố (đpcm)