Cho 2 số thực x, y thỏa mãn (x + căn (x^2 + 1)).(y + căn (y^2 + 1)) = 1

Đề bài:  Cho 2 số thực x, y thỏa mãn $\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 10x⁴ + 8y⁴ – 15xy + 6x² + 5y² + 2017

Trả lời

Hướng dẫn giải:

 $\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1$

Với x = 0 thì y = 0

Với x, y ≠0:

$\begin{array}{l}\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=\sqrt{x^2+1}-x\\ \iff \left(x^2+1-x\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=\sqrt{x^2+1}-x\\ \iff y+\sqrt{y^2+1}=\sqrt{x^2+1}-x\end{array}$

Tương tự ta cũng có: $x+\sqrt{x^2+1}=\sqrt{y^2+1}-y$

Suy ra: x + y  = –(x + y) ⇔ x + y = 0

M = 10x⁴ + 8y⁴ – 15xy + 6x² + 5y² + 2017

= 18x⁴ + 26x² + 2017 ≥ 2017

Dấu “=” tại x = 0 thì y = 0.