Cho 2 đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài ở A. Một cát tuyến kẻ qua A cắt (O) ở B; cắt (O') ở C. Kẻ đường kính BD và CE của (O) và (O'). Chứng minh:

a. D, A, E thẳng hàng.

b. BD song song CE.

Lời giải:

a. Ta có: BD là đường kính đường tròn (O) \( \Rightarrow \widehat {DAB} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {DAC} = 90^\circ \).

Ta cũng có EC là đường kính đường tròn (O') nên \(\widehat {EAC} = 90^\circ \).

Ta có: \(\widehat {DAE} = \widehat {DAC} + \widehat {EAC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

⇒ 3 điểm A, D, E thẳng hàng (ĐPCM).

b. Ta có: (O) và (O') tiếp xúc nhau tại A nên O, A, O' thẳng hàng

\( \Rightarrow \widehat {CAO'} = \widehat {OAB}\) (đối đỉnh). (1)

Mặt khác, Xét tam giác cân AO'C (do O'A = O'C) có: \(\widehat {CAO'} = \widehat {O'AC}\).  (2)

Tương tự tam giác cân AOB (do OA = OB) có: \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\).  (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra: \(\widehat {ACO'} = \widehat {OBA}\), mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Vậy BD // CE.