Cho 2 điểm A(3; 0), B(0; 4). Phương trình đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất

Đề bài: Cho 2 điểm A(3; 0), B(0; 4). Phương trình đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất nội tiếp ∆OAB là ?

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Phương trình đường thẳng AB là: $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1\iff 4x+3y-12=0$

Giả sử đường tròn (C) có tâm I(a; b).

Đường trong (C) nội tiếp ∆OAB, suy ra (C) có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc Ox, Oy, AB

⇒ R = d(I, Ox) = d(I, Oy) = d(I, AB)

$\Rightarrow R=\left|b\right|=\left|a\right|=\frac{\left|4a+3a-12\right|}{5}\iff 5\left|a\right|=\left|7a-12\right|$

TH1: Nếu a = b, ta có $\left|a\right|=\frac{\left|4a+3a-12\right|}{5}\iff 5\left|a\right|=\left|7a-12\right|$

$\iff \left[\begin{array}{c}5a=7a-12\\ 5a=12-7a\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}a=6\\ a=1\end{array}\right.$

TH2: Nếu a – b, ta có $\left|a\right|=\frac{\left|4a-3a-12\right|}{5}\iff 5\left|a\right|=\left|a-12\right|$

$\iff \left[\begin{array}{c}5a=a-12\\ 5a=12-a\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}a=-3\\ a=2\end{array}\right.$

Vì (C) có bán kính nhỏ nhất nên chọn R = $\left|a\right|=1$

Suy ra (C) có tâm I(1; 1) và R = 1 ⇒ (C): ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=1$

$\iff x^2+y^2-2x-2y+1=0$.