Cho 1/a + 1/b + 1/c = 1/(a + b + c)

Đề bài: Cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$ . Chứng minh $\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}$

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$

⇔ (ab + bc + ca)(a + b + c) = abc

⇔ (ab + bc + ca)(a + b) + c²(a + b) = 0

⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = 0

Suy ra:

Trong 3 số a,b,c có 2 số đối nhau. Không mất tính tổng quát, giả sử a=–b

Thay vào ta dễ thấy: $\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}$