Biết rằng parabol (P): y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) đi qua hai điểm A(0; –3), B(2; 1

Đề bài: Biết rằng parabol (P): y = ax² + bx + c (a ≠ 0) đi qua hai điểm A(0; –3), B(2; 1) và cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt M, N thỏa mãn MN = 2. Tính giá trị biểu thức a² – b².

Trả lời

Hướng dẫn giải:

A, B ∈ (P) nên tọa độ A, B là nghiệm của phương trình:

{−3=a.02+b.0+c1=a.22+b.2+c⇒{c=−34a+2b=4⇒{c=−3b=2−2a

Vì (P) giao Ox tại M và N nên gọi tọa độ của M(x­­­_M; 0) , N(x_N; 0)

MN = 2 $\iff \sqrt{{\left(x_N-x_M\right)}^2+{\left(y_N-y_M\right)}^2}=2$

⇔ x_N – x_M = 2 (*)

$x_N=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};x_M=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$

$x_N-x_M=\frac{\sqrt{\Delta }}{a}=\frac{\sqrt{{\left(-b\right)}^2-4ac}}{a}=2$

⇔ b² – 4ac = 4a²

⇔ b² – 4a.(–3) = 4a²

⇔ (2 – 2a)² + 12a – 4a² = 0

⇔ 4a² – 8a + 4 + 12a – 4a² = 0

⇔ 4a + 4 = 0

Do đó, nếu a = –1 thì b = 4

Vậy a² – b² = (–1)² – 4² = –15