Ta có $y\text{'}=4x^3-6x+a$ và $y\text{'}\text{'}=12x^2-6$.

Do $A\left(2;-2\right)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nên $\stackrel{}{\to }\left\{\begin{array}{l}y\text{'}\left(2\right)=0\\ y\left(2\right)=-2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}32-12+a=0\\ 16-12+2a+b=-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-20\\ b=34\end{array}\right..$

Thử lại với $\left\{\begin{array}{l}a=-20\\ b=34\end{array}\right.\stackrel{}{\to }y=x^4-3x^2-20x+34$.

Tính đạo hàm và lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ (thỏa).

Vậy $\left\{\begin{array}{l}a=-20\\ b=34\end{array}\right.\stackrel{}{\to }S=a+b=14.$ Chọn B.