Biết đa thức f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 2 chia cho x + 1 dư 5, chia cho x + 2 dư 8. Khi đó giá trị của a và b
Câu 33: Biết đa thức f(x) = x3 + ax2 + bx + 2 chia cho x + 1 dư 5, chia cho x + 2 dư 8. Khi đó giá trị của a và b là bao nhiêu?
Ta có: f(x) = x3 + ax2 + bx + 2 chia cho x + 1 dư 5
Suy ra f(x) – 5 chia hết cho x + 1
Hay x3 + ax2 + bx + 2 – 5 chia hết cho x + 1
Suy ra x3 + ax2 + bx – 3 chia hết cho x + 1
Do đó x = -1 là nghiệm của đa thức f(x)
Khi đó (-1)3 + a(-1)2 + b(-1) - 3 = 0
⇒ -1 + a – b – 3 = 0
⇒ a – b = 4 hay b = a – 4
Tương tự ta được f(x) – 8 chia hết cho x + 2
Hay x3 + ax2 + bx + 2 – 8 chia hết cho x + 2
Suy ra x3 + ax2 + bx – 6 chia hết cho x + 2
⇒ x = –2 là nghiệm của đa thức f(x)
⇒ (–2)3 + a(–2)2 + b(–2) – 6 = 0
⇒ –8 + 4a – 2b – 6 = 0
⇒ 4a – 2b = 14
⇒ 2a – b = 7
Thay b = a – 4 vào ta có:
2a – (a – 4) = 7
2a – a + 4 = 7
a + 4 = 7
a = 3
⇒ b = 3 – 4 = –1
Vậy (a; b) = (3; –1)