Biết đa thức f(x) = x^3 + ax + b chia cho x – 2 dư 3, chia cho x – 3 dư 5. Tìm đa thức đó

Câu 34: Biết đa thức f(x) = x³ + ax + b chia cho x – 2 dư 3, chia cho x – 3 dư 5. Tìm đa thức đó.

Trả lời

Ta có: (x) = x3 + ax + b chia cho x – 2 dư 3

Suy ra f(x) – 3 chia hết cho x – 2

Hay x3 + ax + b – 3 chia hết cho x – 2

Do đó x = 2 là nghiệm của đa thức f(x)

Khi đó 23 + 2a + b – 3 = 0

⇒ 8 + 2a + b – 3 = 0

⇒ 2a + b = –5 hay b = –2a – 5

Tương tự ta được f(x) – 5 chia hết cho x – 3

Hay x3 + ax + b – 5 chia hết cho x – 3

Do đó x = 3 là nghiệm của đa thức f(x)

⇒ 33 + 3a + b – 5 = 0

⇒ 27 +3a + b – 5 = 0

⇒ 3a + b = –22

Thay b = –2a – 5 vào ta có:

3a + (–2a – 5) = –22

3a – 2a – 5 = –22

a – 5 = –22

a = –17

⇒ b = (–2)(–17) – 5 = 29

Vậy đa thức f(x) = x3 – 22 + 29.