Cho tứ giác ABCD có AB ⊥ CD; AB = 2; BC = 13; CD = 8; DA = 5 (H.6.21). Gọi H là giao điểm của AB và CD và đặt x = AH
853
11/04/2023
Bài 6.22 trang 27 Toán 10 Tập 2: Cho tứ giác ABCD có AB ⊥ CD; AB = 2; BC = 13; CD = 8; DA = 5 (H.6.21). Gọi H là giao điểm của AB và CD và đặt x = AH. Hãy thiết lập một phương trình để tính độ dài x, từ đó tính diện tích tứ giác ABCD.
Trả lời
Đặt AH = x, x > 0.
Xét tam giác AHD vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:
AD2 = AH2 + HD2 ⇔ HD2 = AD2 – AH2 = 52 – x2 = 25 – x2
Suy ra HD = .
Ta có HC = HD + DC = .
HB = AH + AB = x + 2
Xét tam giác HBC vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:
BC2 = HB2 + HC2
⇔ 132 = (x + 2)2 +
⇔ x2 + 4x + 4 + 25 – x2 + 16+ 64 – 169 = 0
⇔ 16 = – 4x + 76
⇔ 4 = – x + 19
Để tính x, ta cần giải phương trình: 4 = – x + 19 (1).
Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được:
16.(25 – x2) = x2 – 38x + 361
⇔ 17x2 – 38x – 39 = 0
⇔ x = 3 hoặc x = .
Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình (1), ta thấy hai giá trị x = 3 và x = đều thỏa mãn.
Vì điều kiện của x là x > 0 nên ta chọn x = 3.
Do đó ta tính được AH = 3.
Suy ra HD = .
HC = 4 + 8 = 12
HB = 3 + 2 = 5
Diện tích tam giác HAD là S1 = HA . HD = . 3 . 4 = 6.
Diện tích tam giác HBC là S2 = HB . HC = . 5 . 12 = 30.
Vậy diện tích tứ giác ABCD là S = S2 – S1 = 30 – 6 = 24.