Chọn ngẫu nhiên ba số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên. Tìm xác suất để tổng ba

Bài 20 trang 97 Toán 10 Tập 2: Chọn ngẫu nhiên ba số khác nhau từ

23 số nguyên dương đầu tiên. Tìm xác suất để tổng ba số chọn được là một số chẵn.

Trả lời

Không gian mẫu Ω là các tập {a; b; c} (với {a; b; c} là tập con của tập các số tự nhiên của đoạn [1; 23]). 

Vậy n(Ω) = $C_{23}^3=1771$.

Gọi biến cố H: “Tổng ba số được chọn là một số chẵn”. 

Ta có H ⊂ Ω là các tập {a; b; c} mà a + b + c chẵn. 

Mà a + b + c chẵn khi và chỉ khi cả 3 số cùng chẵn hoặc có 2 số lẻ và 1 số chẵn. 

Trường hợp 1. Cả ba số được chọn cùng chẵn. Tập các số chẵn thuộc đoạn [1; 23] là A = {2; 4; … ; 22}. Suy ra n(A) = 11. Do đó số tập con {a; b; c} ⊂ A là $C_{11}^3=165$. 

Vậy có 165 bộ ba số {a; b; c} mà cả ba số cùng chẵn. 

Trường hợp 2. Hai số lẻ và một số chẵn. 

Tập các số lẻ thuộc đoạn [1; 23] là B = {1; 3; …; 23}. Suy ra n(B) = 12. 

Chọn 2 số lẻ trong 12 số lẻ có $C_{12}^2=66$ cách chọn. 

Chọn 1 số chẵn trong 11 số chẵn có 11 cách chọn. 

Theo quy tắc nhân, do đó số tập {a; b; c} với 2 số lẻ và 1 số chẵn là 66 . 11 = 726. 

Vậy có 726 bộ ba số {a; b; c} gồm 2 số lẻ và 1 số chẵn. 

Do đó, n(H) = 165 + 726 = 891. 

Vậy xác suất của biến cố H là $P\left(H\right)=\frac{n\left(H\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{891}{1771}=\frac{81}{161}$.